極坐標為什麼只有上面部分

1. 極坐標的有關知識

極坐標系是一個二維坐標系統。該坐標系統中的點由一個夾角和一段相對中心點——極點（相當於我們較為熟知的直角坐標系中的原點）的距離來表示。極坐標系的應用領域十分廣泛，包括數學、物理、工程、航海以及機器人領域。在兩點間的關系用夾角和距離很容易表示時，極坐標系便顯得尤為有用；而在平面直角坐標系中，這樣的關系就只能使用三角函數來表示。對於很多類型的曲線，極坐標方程是最簡單的表達形式，甚至對於某些曲線來說，只有極坐標方程能夠表示。

歷史

主條目：三角函數的歷史

眾所周知，希臘人最早使用了角度和弧度的概念。天文學家喜帕恰斯（Hipparchus 190-120 BC）製成了一張求各角所對弦的弦長函數的表格。並且，曾有人引用了他的極坐標系來確定恆星位置。在螺線方面，阿基米德描述了他的著名的螺線，一個半徑隨角度變化的方程。希臘人作出了貢獻，盡管最終並沒有建立整個坐標系統。

關於是誰首次將極坐標系應用為一個正式的坐標系統，流傳著有多種觀點。關於這一問題的較詳盡歷史，哈佛大學教授朱利安·盧瓦爾·科利奇的《極坐標系起源》[1][2]作了闡述。格雷瓜·德·聖-萬桑特 和博納文圖拉·卡瓦列里，被認為在幾乎同時、並獨立地各自引入了極坐標系這一概念。聖-萬桑特在1625年的私人文稿中進行了論述並發表於1647年，而卡瓦列里在1635進行了發表，而後又於年進行了更正。卡瓦列里首次利用極坐標系來解決一個關於阿基米德螺線內的面積問題。布萊士·帕斯卡隨後使用極坐標系來計算拋物線的長度。

在1671年寫成，1736年出版的《流數術和無窮級數》(en:Method of Fluxions)一書中，艾薩克·牛頓第一個將極坐標系應用於表示平面上的任何一點。牛頓在書中驗證了極坐標和其他九種坐標系的轉換關系。在1691年出版的《博學通報》（Acta eruditorum）一書中雅各布·伯努利正式使用定點和從定點引出的一條射線，定點稱為極點，射線稱為極軸。平面內任何一點的坐標都通過該點與定點的距離和與極軸的夾角來表示。伯努利通過極坐標系對曲線的曲率半徑進行了研究。

實際上應用「極坐標」en:Polar coordinate system這個術語的是由格雷古廖·豐塔納開始的，並且被18世紀的義大利數學家所使用。該術語是由喬治·皮科克在1816年翻譯拉克魯瓦克斯的《微分學與積分學》（Differential and Integral Calculus）[3][4][5] 一書時，被翻譯為英語的。

阿勒克西斯·謝羅特和萊昂哈德·歐拉被認為是將平面極坐標系擴展到三維空間的數學家。

在極坐標系中表示點
點(3,60°) 和 點(4,210°)
點(3,60°) 和 點(4,210°)

正如所有的二維坐標系，極坐標系也有兩個坐標軸：r(半徑坐標)和θ（角坐標、極角或方位角，有時也表示為φ或t）。r坐標表示與極點的距離，θ坐標表示按逆時針方向坐標距離0°射線（有時也稱作極軸）的角度，極軸就是在平面直角坐標系中的x軸正方向。[6]

比如，極坐標中的(3,60°)表示了一個距離極點3個單位長度、和極軸夾角為60°的點。(−3,240°) 和(3,60°)表示了同一點，因為該點的半徑為在夾角射線反向延長線上距離極點3個單位長度的地方(240° − 180° = 60°)。

極坐標系中一個重要的特性是，平面直角坐標中的任意一點，可以在極坐標系中有無限種表達形式。通常來說，點(r, θ)可以任意表示為(r, θ ± n×360°)或(−r, θ ± (2n + 1)180°)，這里n是任意整數。[7] 如果某一點的r坐標為0，那麼無論θ取何值，該點的位置都落在了極點上。

[編輯] 使用弧度單位

極坐標系中的角度通常表示為角度或者弧度，使用公式2π rad = 360°.具體使用哪一種方式，基本都是由使用場合而定。航海(en:Navigation)方面經常使用角度來進行測量，而物理學的某些領域大量使用到了半徑和圓周的比來作運算，所以物理方面更傾向使用弧度。[8]

[編輯] 在極坐標系與平面直角坐標系（笛卡爾坐標系）間轉換

極坐標系中的兩個坐標 r 和 θ 可以由下面的公式轉換為 直角坐標系下的坐標值

x = r \cos \theta \,
y = r \sin \theta \,

由上述二公式，可得到從直角坐標系中x 和 y 兩坐標如何計算出極坐標下的坐標

r = \sqrt{x^2 + y^2} \,
\theta = \arctan \frac{y}{x}\qquad x \ne 0 \,

[9]在 x = 0的情況下：若 y 為正數 θ = 90° (π/2 radians); 若 y 為負, 則 θ = 270° (3π/2 radians).

[編輯] 極坐標方程

用極坐標系描述的曲線方程稱作極坐標方程，通常表示為r為自變數θ的函數。

極坐標方程經常會表現出不同的對稱形式，如果r(−θ) = r(θ)，則曲線關於極點(0°/180°)對稱，如果r(π−θ) = r(θ)，則曲線關於極點(90°/270°)對稱，如果r(θ−α) = r(θ)，則曲線相當於從極點逆時針方向旋轉α°。[9]

[編輯] 圓
方程為r(θ) = 1的圓。
方程為r(θ) = 1的圓。

在極坐標系中，圓心在(r0, φ) 半徑為 a 的圓的方程為

r^2 - 2 r r_0 \cos(\theta - \varphi) + r_0^2 = a^2

該方程可簡化為不同的方法，以符合不同的特定情況，比如方程

r(\theta)=a \,

表示一個以極點為中心半徑為a的圓。[10]

[編輯] 直線

經過極點的射線由如下方程表示

\theta = \varphi \,,

其中φ為射線的傾斜角度，若 m為直角坐標系的射線的斜率，則有φ = arctan m。 任何不經過極點的直線都會與某條射線垂直。[11] 這些在點(r0, φ)處的直線與射線θ = φ 垂直，其方程為

r(\theta) = {r_0}\sec(\theta-\varphi) \,.

[編輯] 玫瑰線
一條方程為 r(θ) = 2 sin 4θ的玫瑰線.
一條方程為 r(θ) = 2 sin 4θ的玫瑰線.

極坐標的玫瑰線(polar rose)是數學曲線中非常著名的曲線，看上去像花瓣，它只能用極坐標方程來描述，方程如下：

r(\theta) = a \cos k\theta \, OR
r(\theta) = a \sin k\theta \,

如果k是整數，當k是奇數時那麼曲線將會是k個花瓣，當k是偶數時曲線將是2k個花瓣。如果k為非整數，將產生圓盤(disc)狀圖形，且花瓣數也為非整數。注意：該方程不可能產生4的倍數加2（如2，6，10……）個花瓣。變數a代表玫瑰線花瓣的長度。

[編輯] 阿基米德螺線
方程 r(θ) = θ for 0 < θ < 6π的一條阿基米德螺線.
方程 r(θ) = θ for 0 < θ < 6π的一條阿基米德螺線.

阿基米德螺線在極坐標里使用以下方程表示:

r(\theta) = a+b\theta \,.

改變參數a將改變螺線形狀，b控制螺線間距離，通常其為常量。阿基米德螺線有兩條螺線，一條θ > 0，另一條θ < 0。兩條螺線在極點處平滑地連接。把其中一條翻轉 90°/270°得到其鏡像，就是另一條螺線。

[編輯] 圓錐曲線
Ellipse, showing semi-latus rectum
Ellipse, showing semi-latus rectum

圓錐曲線方程如下：

r = {l\over (1 + e \cos \theta)}

其中l表示半徑，e表示離心率。 如果e < 1，曲線為橢圓，如果e = 1，曲線為拋物線，如果e > 1，則表示雙曲線。

[編輯] 其他曲線

由於坐標系統是基於圓環的，所以許多有關曲線的方程，極坐標要比直角坐標系(笛卡爾形式)簡單得多。比如lemniscates, en:limaçons, and en:cardioids。

應用

[編輯] 行星運動的開普勒定律
開普勒第二定律
開普勒第二定律

另見：開普勒行星運動定律

極坐標提供了一個表達開普拉行星運行定律的自然數的方法。開普勒第一定律，認為環繞一顆恆星運行的行星軌道形成了一個橢圓，這個橢圓的一個焦點在質心上。上面所給出的二次曲線部分的等式可用於表達這個橢圓。 開普勒第二定律，即等域定律，認為連接行星和它所環繞的恆星的線在等時間間隔所劃出的區域是面積相等的，即d\mathbf{A}\over dt是常量。這些等式可由牛頓運動定律推得。在開普勒行星運動定律中有相關運用極坐標的詳細推導。

2. 你好，我想畫一個只有上半部分的極坐標-90到90度，可是origin設置范圍好像只能從0開始

origin9很好設定。見下圖

3. 直角坐標和極坐標

在平面內畫兩條直角坐標互相垂直,並且有公共原點的數軸.其中橫軸為X軸,縱軸為Y軸.這樣我們就說在平面上建立了平面直角坐標系,簡稱直角坐標系.
直角坐標中的點坐標：對於平面內任意一點C,過點分C別向X軸、Y軸作垂線,垂足在X軸、Y軸上的對應點a,b分別叫做點C的橫坐標、縱坐標,有序數對（a,b）叫做點C的坐標. 坐標平面：坐標系所在平面.
坐標原點：兩坐標軸的公共原點.
象限：X軸和Y軸把坐標平面分成四個象限,右上面的叫做第一象限,其他三個部分按逆時針方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限.象限以數軸為界,橫軸、縱軸上的點不屬於任何象限.

在 平面內取一個定點O, 叫極點,引一條射線Ox,叫做極軸,再選定一個長度單位和角度的正方向（通常取逆時針方向）.對於平面內任何一點M,用ρ表示線段OM的長度,θ表示從Ox到OM的角度,ρ叫做點M的極徑,θ叫做點M的極角,有序數對 (ρ,θ)就叫點M的極坐標,這樣建立的坐標系叫做極坐標系.
在極坐標中,x被ρcosθ代替,y被ρsinθ代替.ρ^2=(x^2+y^2)
極坐標系是一個二維坐標系統.該坐標系統中的點由一個夾角和一段相對中心點——極點（相當於我們較為熟知的直角坐標系中的原點）的距離來表示.極坐標系的應用領域十分廣泛,包括數學、物理、工程、航海以及機器人領域.在兩點間的關系用夾角和距離很容易表示時,極坐標系便顯得尤為有用；而在平面直角坐標系中,這樣的關系就只能使用三角函數來表示.對於很多類型的曲線,極坐標方程是最簡單的表達形式,甚至對於某些曲線來說,只有極坐標方程能夠表示.

4. 高數：極坐標求面積，為什麼上下限不同

您好，非常榮幸能在此回答您的問題。以下是我對此問題的部分見解，若有錯誤，歡迎指出。這兩個都是0~2π上下限
極坐標的意義是這樣的：一根棒子，從x軸正方向夾角0度起，逆時針擺動，棒子的長度和擺過的角度θ有關，掃過的單位面積量是1/2*r*r*dθ。所以求其面積就是棒子從0度掃到360度，轉一圈積分。非常感謝您的耐心觀看，如有幫助請採納，祝生活愉快！謝謝！

5. 請問極坐標r的上限為什麼是1 不能是secθ 是怎麼找極坐標r的范圍啊 謝

你好！r要同時滿足x<1與x^2+y^2<1，你只用一個條件解就不對了，這類問題最好從圖形理解，r的上界就是右上邊界曲線的極坐標形式。經濟數學團隊幫你解答，請及時採納。謝謝！